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集合与维恩图
集合
集合是收集起来的一些东西。 例如,穿在身上的东西是个集合:鞋子、袜子、帽子、衬衫、裤子等等。 描述集合的方法是把东西放在大括号里: {袜子,鞋子,腕表,衬衫,…} 也可以有数集: 整数集:{0, 1, 2, 3, …} 质数集:{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …} 十个好朋友十个好朋友的集: {阿力, 小白, 卡卡, 小狄, 艾伦, 成成, 兰子, 老韩, 大牛, 翠翠}每个朋友是集的 "元素"(也称为 "成员")。我们通常用小写英语字母来代表元素。
假设阿力, 卡卡, 小狄和老韩踢足球: 足球 = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩} (就是说,集 "足球" 的元素是阿力、卡卡、小狄和老韩。)
卡卡、小狄和翠翠打网球: 网球 = {卡卡, 小狄, 翠翠}
我们把他们的名字放在两个圆里: 并集从这两个图,你可以写下谁踢足球或打网球。 这叫集的 "并集",符号是 ∪: 足球 ∪ 网球 = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩, 翠翠} 不是每个人都在这个集里 …… 只是踢足球或打网球(或两样都打)的朋友。 我们可以用个 "维恩图" 来显示这个关系: 维恩图:两个集的并集 维恩图是个高明的图,可以显示很多信息: 看到阿力、卡卡、小狄和老韩都在 "足球" 集里吗? 卡卡、小狄和翠翠就在 "网球" 集里。 巧妙的是:卡卡和小狄两个集里都在!一个简单的图显示了很多。 交集"交集" 是两个集里都在的元素。 在这个例子中就是踢足球并且打网球的 …… 就是卡卡和小狄。 交集的符号是倒转的大写英语字母 "U":∩ 这是记法: 足球 ∩ 网球 = {卡卡, 小狄} 用维恩图来表达: 维恩图:两个集的交集 怎样去记??想象符号是个 "杯子":正常竖立的∪ 可以比翻过来放的 ∩ 盛多些水。 所以并集∪也比交集 ∩ 含有多些元素 差集也可以把两个集 "相减"。 例如,从足球里减去网球就是找只踢足球但不打网球的人 …… 就是阿力和老韩. 记法是: 足球 − 网球 = {阿力, 老韩} 用维恩图来表达就是: 维恩图:两个集的差集 暂停:目前结论 ∪是并集:在任何一个集里 ∩是交集:一定要都在两个集里 −是差集:在一个集里但不在另一个集里 三个集也可以画 3个集的维恩图。 假设第三个集是 "排球"。小狄、兰子和翠翠打排球: 排球 = {小狄, 兰子, 翠翠} 我们用 "数学" 语言来写,以大写英语字母来代表这三个集: S 代表踢足球的人的集 T 代表打网球的人的集 V 代表打排球的人的集维恩图像这样: 3个集的并集:S ∪ T ∪ V 从维恩图可以看到: 小狄踢足球、打网球、并且打排球 翠翠打网球并且打排球 阿力和老韩踢足球,但不打网球,也不打排球 没有人只打网球我们更具体地看看并集和交集 …… 这是集 S S = {阿力, 卡卡, 小狄, 老韩}
这是集 T 和 集 V 的并集 T ∪ V = {卡卡, 小狄, 翠翠, 兰子}
这是集 S 和集 V 的交集 S ∩ V = {小狄} 来看这个 …… 从上面的 S ∩ V 减去 T:这是集 S 和集 V 的交集减集 T (S ∩ V) − T = {} 什么都没有! 就是 "空集"。还是个集,所以用大括号,但里面什么都没有:{} 空集没有元素:{} 全集全集是什么元素都有的集。不是真的什么都有。是在我门目前有兴趣的东西里什么都有。 符号是大写英语字母 "U" …… 很容易和并集的符号 ∪ 混淆。要小心! 在这个例子中,全集是全部十个朋友。 U = {阿力, 小白, 卡卡, 小狄, 艾伦, 成成, 兰子, 老韩, 大牛, 翠翠} 用维恩图来表达就是在外面的一个框: 这个维恩图很清楚地显示了十个朋友及他们做(或不做)的球类运动。 我们可以从全集减去踢足球的人: 这样写: U − S = {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠} 就是说:"全集减足球集是集 {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠}" 换句话说: "所有不踢足球的人"。 补集"所有不是" 也有个特别名词,叫 "补集"(也称 "余集"). 记法是上标大写英语字母 "C": Sc 意思是"所有不在 S 里的": Sc = {小白, 艾伦, 成成, 兰子, 大牛, 翠翠} (和上面的 U − S 例子一摸一样) 总括 ∪是并集:在任何一个集里 ∩是交集:一定要都在两个集里 −是差集:在一个集里但不在另一个集里 Ac是 A 的补集(也叫余集):所有不在 A 里的东西 空集:没有元素的集。记法是 {} 全集:我们目前有兴趣的所有东西 集合入门集合索引 |
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